波动光学中的半波带法

半波带法及其证明

半波带法是波动光学中较为重要的近似计算方法,在物理竞赛中也是考试的重点。
其主要内容是利用菲涅耳衍射公式将次波相干叠加的计算简化。
菲涅耳衍射公式中的积分要求对波前作无限分割,而半波带法利用巧妙的技巧使其简化。
图的话之后再补吧

取波前$\Sigma$为点源$S$为中心的球面,易知此为点源等相面。
点$O$为场点$P _ 0$到点源$S$连线与球面交点,设$O P _ 0 = b$
以$P _ 0$为球心依次作半径$b + n \frac {\lambda} {2}$的球面(其中$\lambda$为波长,$n$为正整数),将波前$\Sigma$分割为一系列环带,而这些环带的边缘点到$P _ 0$的波程依次差为半个波长,半波带法由此得名。
设$\Delta \widetilde U _ 1 (P _ 0)$,$\Delta \widetilde U _ 2 (P _ 0)$,$\Delta \widetilde U _ 3 (P _ 0)$等为各半波带在场点$P _ 0$产生的的复振幅,其中$\Delta \widetilde U _ k (P _ 0)$为第$k$个半波带产生的复振幅。
由于两个相邻环带在$P _ 0$产生的复振幅相位差为$\pi$,有

因此$P _ 0$点的和振幅为

由惠更斯-菲涅耳原理知

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