一道有意思的题

有些时候不可解问题也会有许多用处。
这是一道陪伴了我许久的题目，当年的出题人扬言有谁做出来送一个三星手机（结果炸了）
题目是这样的

给定一顶点$O$在下的圆锥面,其锥角为$\theta$,有一可视为质点的小球初始时在圆锥面上距$O$点$s _ 0$处，有一垂直于该处圆锥面母线的速度$v _ 0$,给定重力加速度为$g$,求其运动轨迹.

这是一道真正的毒瘤难题，我所学习的物理到目前为止有一多半是想着要做出这道题学的。
不过，到目前为止就连学长给出的结果也只是和我一年前刚学物理时借助百科和工具书得到的结果一样。
大约长这个样子：

$$\int \frac {\mathrm d x} {\sqrt {C _ 1 + \frac {C _ 2} {x} + C _ 3 x ^ 2}}$$

好看吗？好看就是积不出来的分。
学了一年比起当年的不同就是会用高级方法发现自己还是积不出来。

当年的方法：

解：
设质点质量为$m$,$t$时刻质点速度为$v$,距顶点距离为$s$,相对于轴的角速度$\omega$满足$\omega \times \vec r _ a = \vec v$
取固连于圆锥面中轴的旋转参考系,旋转角速度为$\omega$
在此参考系中质点受到垂直于轴且指离轴的惯性离心力$\vec F = m \omega ^ 2 \vec r _ a$
对质点进行受力分析有

$$m \frac {\mathrm d ^ 2 s} {\mathrm d t ^ 2} = m \omega ^ 2 s {\sin ^ 2} \frac {\theta} {2} - m g \cos \frac {\theta} {2}$$