空气中的波

空气中的波

今天本来想写用空气中的声速测定空气绝热系数的文章的,但是第一句就给我整蒙了。
所以我就爬来写波速的牛顿公式了。
是这样的:

其中$a$为介质中的波速,$p$为介质中的压强,$\rho$为介质在该处的密度。
我原本的想法是想用牛顿第二定律的普通形式推出来这个公式的,但是……

先写矢量分析的方法吧(其实也就是多了个$\nabla$)

由质量守恒律(流体连续性)得

由牛顿第二定律的微分形式得

其中$p$是压强分布函数
无声波时流体的$\rho$是一常量$\rho _ 0$,且在空间分布均匀,且流体的速度$\mathbf v \equiv 0$。有声波时密度设为$\rho = \rho _ 0 + \delta \rho$,速度为$\mathbf v$,此二者均为小量,代入上述两式并略去小量可得

对前者求$t$的偏导数,后者求梯度,得

两式联立得

满足波动方程

其中波速为$a = \sqrt {\frac {\mathrm d p} {\mathrm d \rho}}$

不知道当年牛顿是怎么想的,反正我觉得是能够用一些奇妙的小量分析得到奇怪的结果的。
其实这也很合理,这东西本来不是很简单吗?(雾)
所以说这下就没有咕咕咕的理由咯(悲)

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