物理竞赛中千万别用的方法

这篇是关于今天晚上考试的一道题目。这次考试绝对会裂开，时间剩了亿一点，于是想把这道题用一种故意炫耀计算力的方法解了。
题目如下：

一粒子质量为$m$,带电量为$q$,在一水平面上运动,匀强磁场$\mathbf B$垂直于平面,粒子初速度为$v _ 0$,运动时受到阻力为$\vec f = - \gamma \vec v$
求：
( 1 ) 假设经历时间$t$$(t > 0)$,求粒子的速率$v$及运动过的路程$s$.
( 2 ) 假设速度方向转过$\frac \pi 2$的用时$t’$,求此时的路程$s’$,速度$v’$大小,位移$l’$大小.

这道题的正常思路似乎是这样的（正解）：

解：
( 1 )
由于粒子在磁场中运动,时刻受力与速度方向垂直,即洛伦兹力不做功.而利用自然坐标分解可很快写出以下运动方程：

$$m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} = - \gamma v$$

此为可分离变量的微分方程,可化为

$$\frac {\mathrm d v} v = - \frac \gamma m \mathrm d t$$

利用初值条件进行定积分,得

$$\int _ {v _ 0} ^ v \frac {\mathrm d v} v = -\frac \gamma m \int _ 0 ^ t \mathrm d t$$ $$\ln \frac v {v _ 0} = - \frac \gamma m t$$ $$v = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t}$$

路程$s$则为

$$s = \int _ 0 ^ t v \mathrm d t = \frac {m v _ 0} \gamma (1 - e ^ {- \frac \gamma m t})$$

( 2 )
继续利用自然坐标分解,易知速度旋转的角速度与速度无关,取决于磁场及粒子比荷

$$\omega = \frac {q B} m$$

从而得到此时用时$t’ = \frac {\pi m}{2 q B}$
路程和速度大小也可以轻易求出

$$s' = \frac {m v _ 0} \gamma (1 - e ^ {- \frac \gamma m t}) = \frac {m v _ 0} \gamma (1 - e ^ {- \frac {\pi \gamma} {2 q B}})$$ $$v' = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} = v _ 0 e ^ {- \frac {\pi \gamma} {2 q B}}$$

路程相对复杂一点,但运用正则动量即可轻松求出两个方向的位移：
假定粒子初始位置为原点$O$,初始速度方向为$x$轴正向,转过$\frac \pi 2$后的速度方向为$y$轴正向,应用正则动量定理,有

$$0 - m v _ 0 = - q y B - \gamma x$$ $$m v - 0 = q x B - \gamma y$$ $$l' = \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = \frac {m v _ 0} {\sqrt {q ^ 2 B ^ 2 + \gamma ^ 2}} \sqrt {1 + e ^ {- \frac {\pi \gamma} {q B}}}$$

然而
sjfhsjfh 显然没有满足。这点计算量怎么能秀计算力呢
下面给出 sjfhsjfh 的暴力解法

解：
假定粒子初始位置为原点$O$,初始速度方向为$x$轴正向,转过$\frac \pi 2$后的速度方向为$y$轴正向.$x$,$y$方向的单位矢量设为$\vec i$,$\vec j$,则$\mathbf B = B (\vec j \times \vec i)$
应用牛顿第二定律得到粒子的运动方程：

$$m \ddot x = - \gamma \dot x - q \dot y B$$ $$m \ddot y = - \gamma \dot y + q \dot x B$$

到这一步某些有识之士有经验的人会说：

啊你这直接可以用复数换元直接秒啊

是啊我知道啊，但是那样做怎么体现出你擅长计算呢？
你看这个形式像不像小学二年级初中学过的二元一次方程组，是不是有一种用$M$倍一式加上$N$倍二式消元的冲动？我也有。

那就有

$$m (M \ddot x + N \ddot y) = (- \gamma M + q B N ) \dot x + (- \gamma N - q B M) \dot y$$

既然是要消元，那就有

$$M (- \gamma N - q B M) - N (- \gamma M + q B N) = 0$$

令$k = M / N$

$$- \gamma k - q B k ^ 2 + \gamma k - q B = 0$$ $$k ^ 2 + 1 = 0$$

按常理，这时应该打出？？？然后大喊一声“我太菜了”丢掉这种恶俗方法。
不，这不够 sjfhsjfh

解得$k = \pm \mathbf i$,取$k = - \mathbf i$带入原方程组可得

$$m (\ddot x + \ddot y \mathbf i) = (- \gamma + q B \mathbf i) (\dot x + \dot y \mathbf i)$$

令$c = x + y \mathbf i$,可化为

$$m \ddot c = (- \gamma + q B \mathbf i) \dot c$$ $$m \frac {\mathrm d \dot c} {\mathrm d t} = (- \gamma + q B \mathbf i) \dot c$$ $$m \frac {\mathrm d \dot c} {\dot c} = (- \gamma + q B \mathbf i) \mathrm d t$$

积分得

$$\dot c = v _ 0 e ^ {(- \frac \gamma m + \mathbf i \frac {q B} m) t}$$

显然

$$v = \left | \dot c \right | = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t}$$

其中$\beta = \frac {m} {q ^ 2 B ^ 2 + \gamma ^ 2}$
再次积分得

$$c = \int _ 0 ^ t \dot c \mathrm d t = \beta (\gamma + q B \mathbf i) v _ 0 [1 - e ^ {(- \frac \gamma m + \mathbf i \frac {q B} m) t}]$$

再利用臭名昭著的有名的欧拉公式: $e ^ {\mathbf i \theta} = \cos \theta + \mathbf i \sin \theta$

$$\dot x + \dot y \mathbf i = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} e ^ {\frac {q B} m t \mathbf i} = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} \cos {\frac {q B} m t} + \mathbf i v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} \sin {\frac {q B} m t}$$

实部与虚部分别相等

$$\dot x = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} \cos {\frac {q B} m t}$$ $$\dot y = v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} \sin {\frac {q B} m t}$$

显然这长得像个正在缩减的圆周运动，这方法简直就是多此一举

同理

$$x + y \mathbf i = - \beta v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} (\gamma + q B \mathbf i) (1 - \cos \frac {q B} m t - \mathbf i \sin \frac {q B} m t)$$ $$x = \beta v _ 0 \gamma - \beta v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} (\gamma \cos \frac {q B} m t - q B \sin \frac {q B} m t)$$ $$y = \beta q v _ 0 B- \beta v _ 0 e ^ {- \frac \gamma m t} (\gamma \sin \frac {q B} m t + q B \cos \frac {q B} m t)$$

这不就要啥有啥了（雾）

速度转过$\frac \pi 2$时$\dot x = 0$,即$\frac {q B} m t = \frac \pi 2$,则$t = \frac {\pi m}{2 q B}$
易求得

$$s' = \frac {m v _ 0} \gamma (1 - e ^ {- \frac {\pi \gamma} {2 q B}})$$ $$v' = v _ 0 e ^ {- \frac {\pi \gamma} {2 q B}}$$ $$l' = \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = \frac {m v _ 0} {\sqrt {q ^ 2 B ^ 2 + \gamma ^ 2}} \sqrt {1 + e ^ {- \frac {\pi \gamma} {q B}}}$$

是不是很简单啊，赶快回去试试吧
这种方法其实并不是一点用都没有，比如说求傅科摆的进动角速度就可以用这个方法，求起来会快很多哦。